Question

Решить уравнение для каждого параметра а:
a^2x+1=|x|+a
Даю 15 баллов))

Answer 1

Рассмотрим функции $f(x)=a^2x+1-a$ и $g(x)=|x|=displaystyle left { {{x,,,, x geq 0} atop {-x,,,, x textless 0}} right.$
Угловые коэффициенты функции g(x) = |x| равны 1 и -1, т.е. f(x) будет параллельным к графику g(x) если угловые коэффициенты совпадают:
1) $a=1$, то $f(x)=x$ и $g(x)=|x|$. График функции f(x) совпадает с графиком функции g(x) при x≥0
Решением уравнения есть все значения х из $x in [0;+infty).$
2) Если а=-1, то $f(x)=x+2$ - прямая, которая проходит через точки (0;2) и (-2;0). График функции f(x) = x+2 параллельный графику функции f(x)=|x| при x≥0, f(x) с g(x) пересекаются в одной точке 

Исходя из этого мы можем сделать вывод, что при $a in (-infty;-1]cup[1;+infty)$ уравнение имеет одно решение.

При $a in (-1;1)$ уравнение имеет 2 решения.

Answer 2

$a^2x + 1 = |x| + a \ \ 1) x geq 0 \ \ a^2x + 1 = x + a \ \ a^2x - x = a - 1 \ \ x(a^2 - 1) - (a - 1) = 0 \ \ x(a - 1)(a + 1) - (a - 1) = 0 \ \ x(a - 1)(a + 1 - 1) = 0 \ \ ax(a - 1) = 0$
Произведение множителей равно нулю, если любой из множителей равен нулю.
Если a = 0 или 1, то x ∈ [0; +∞).
Если a ≠ 0, a ≠ 1. то x = 0.

$2) x leq 0 \ \ a^2x + 1 = -x + a \ \ a^2x + x = a - 1 \ \ x(a^2 + 1) = a - 1 \ \ x = dfrac{a - 1}{a^2 + 1 } \ \ dfrac{a - 1}{a^2 + 1 } leq 0 \ \ a - 1 leq 0 \ \ a leq 1$

Итак, если a ≤ 1, то x = (a - 1)/(a² + 1).

Ответ: если a = 0, то x ∈ [0; +∞) или x = (a - 1)/(a² + 1); если a = 1, то x ∈ [0; +∞) или x = (a - 1)/(a² + 1); если a ∈ (-∞; 0) U (0; 1), то x = (a - 1)/(a² + 1), или x = 0.