Question

Разложить на простые дроби $frac{x}{x^3-1}$

Answer 1

Представим дробь в виде $dfrac{x}{x^3-1} = dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = dfrac{A}{x-1} + dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}$. Сводим к общему знаменателю, т.е. $dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = dfrac{A(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+ dfrac{(Cx+D)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

После того как мы свели к общему знаменателю, то данное выражение можно записать так $x=A(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)$ (1)

Метод неопределённых коэффициентов.
Выбираем любое значение х. Допустим х=1, подставив в (1), получаем уравнение $1=3A$. Возьмем теперь х=0, получаем $0=A-D$. Ну и последнее можно взять х=-1, т.е. $-1=A+2C-2D$.

Решив систему уравнений $begin{cases} & text{ } 3A=1 \ & text{ } A-D=0 \ & text{ } A+2C-2D=-1 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } A= frac{1}{3} \ & text{ } D= frac{1}{3} \ & text{ } C=- frac{1}{3} end{cases}$

Подставив значения A, C,D в (1), получаем разложение на простые дроби, т.е. $dfrac{x}{x^3-1}= dfrac{frac{1}{3}}{x-1}+ dfrac{frac{1}{3}-frac{1}{3}x}{x^2+x+1}$

Answer 2

Потому что в знаменателе старший степень n=2

Answer 3

Значит будет 2 слагаемых

Answer 4

спасибо

Answer 5

в ответах написано (x-1)/(3x+(x-1)^2)-(1-3x+x^2)/(x^3-1)

Answer 6

что в результате такое же, как и у вас