Question

Решить параметр. На фотографии

Answer 1

В правой части уравнения подкоренное выражение разложим на множители, т.е. 
$6x^2-6ax+3x+3a=3(x(2x-1)-a(2x-1))=3(2x-1)(x-a)$

То есть, мы будем иметь следующее уравнение

$x sqrt{x-a} =sqrt{3(2x-1)(x-a)}$. Переносим в левую часть уравнения и выносим за скобки множитель $sqrt{x-a}$, т.е. $sqrt{x-a} (x-sqrt{3(2x-1)} )=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е. $sqrt{x-a}=0$  откуда  $x=a$ и  $x-sqrt{3(2x-1)} =0$
$x=sqrt{3(2x-1)}$. Возведя обе части в квадрат, с учетом того что x>0, тогда имеем $x^2-6x+3=0$

Выделим полный квадрат в левой части, т.е. $(x-3)^2=6$ откуда $x_{1,2}=3pm sqrt{6}$

Корень $x=3+sqrt{6} notin [0;1]$

ОДЗ уравнения $displaystyle left { {{x-(3-sqrt{6} ) geq 0} atop {3(2x-1)(x-(3-sqrt{6} )) geq 0}} right. Rightarrow xin [3-sqrt{6} ;+infty)$

С учетом того что уравнение имеет одно решение на отрезке [0;1], то $displaystyle left { {{x geq 3-sqrt{6} } atop {0 leq x leq 1}} right. Rightarrow boxed{x in [3-sqrt{6} ;1]}$. Также х=а , то $ain [3-sqrt{6} ;1]$

Если х=а, то уравнение принадлежит отрезку [0;1] при a ∈ [0;1]
Условие принимает при $x-a geq 0$. Подставив $3-sqrt{6}$, получаем $a leq 3-sqrt{6}$

Корни уравнения х=а и $x=3-sqrt{6}$ совпадают при $a=3-sqrt{6}$

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень на отрезке [0;1] при $a in (-infty;0)cup[3-sqrt{6} ;1].$