Question

Прошу помочь решить данную задачку с пределом.

Answer 1

Рекуррентное соотношение имеет вид $tau_{h+1}=qtau_h$, при этом $tau_1ne0$. Известно, что решение этого уравнения - геометрическая прогрессия с знаменателем q. Геометрическая прогрессия имеет предел, если q берется из промежутка (-1, 1].

$begin{cases}-18tau^2+16tau-1 textgreater -1\-18tau^2+16tau-1leqslant1end{cases};Leftrightarrow;begin{cases}9tau^2-8tau textless 0\9tau^2-8tau+1geqslant0end{cases}$

Решение первого неравенства:
$9tau^2-8tau textless 0\ 9tauleft(tau-dfrac89right) textless 0\ tauinleft(0,dfrac89right)$

Решение второго неравенства:
$9tau^2-8tau+1geqslant0\ (3tau)^2-2cdot3taucdotdfrac43+dfrac{16}9geqslantdfrac{16}{9}-1\ left(3tau-dfrac43right)^2geqslantdfrac79\ 3tauinleft(-infty,dfrac{4-sqrt7}3right]cupleft[dfrac{4+sqrt7}{3},+inftyright)\ tauinleft(-infty,dfrac{4-sqrt7}9right]cupleft[dfrac{4+sqrt7}{9},+inftyright)$

Решение системы - пересесение множеств решений неравенств.
$boxed{tauinleft(0,dfrac{4-sqrt7}9right]cupleft[dfrac{4+sqrt7}{9},dfrac89right)}$