Question

Найдите значение выражения (без округлений): 
$arctg \dfrac{1}{2} + arctg \dfrac{1}{5} + arctg \dfrac{1}{8}$

Answer 1

Используем формулу тангенс суммы углов: $tg( \alpha + \beta )= \dfrac{tg \alpha +tg \beta }{1-tg \alpha tg \beta }$
Положим $\alpha =arctgx$, $\beta =arctgy$, получим $tg(arctg\,\,x+arctg\,\,y)= \dfrac{tg(arctg\,\, x)+tg(arctg\,\, y)}{1-tg(arctg\,\, x)tg(arctg\,\, y)}$

откуда  $arctgx+arctg\,\, y=arctg \frac{x+y}{1-xy}$

Используя эту формулу, получим 
$arctg \frac{1}{2} +arctg \frac{1}{5} +arctg \frac{1}{8} =arctg \frac{ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} }{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} } +arctg \frac{1}{8} =\\ \\ =arctg \frac{7}{9}+arctg \frac{1}{8}=arctg \frac{ \frac{7}{9} + \frac{1}{8} }{1- \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8} } =arctg1= \frac{\pi}{4}$


Ответ: π/4.