Question

Решить уравнение: √1,5sin(x) + cos(x) = 0 ((Корень из 1,5 синуса x) + косинус x = 0).

Answer 1

$\sqrt{1,5sinx} + cosx = 0 \\ \\ \sqrt{1,5sinx} = -cosx \\ \\ -cosx \geq 0 \\ \\ cosx \leq 0 \\ \\ \dfrac{ \pi }{2} + 2 \pi n \leq x \leq \dfrac{3 \pi }{2} + 2 \pi n, \ n \in Z \\ \\ 1,5sinx = cos^2x \\ \\ 1,5sinx = 1 - sin^2x \\ \\ sin^2x + 1,5sinx - 1 = 0 \\ \\ 2sin^2x + 3sinx - 2 = 0$

Пусть $t = sinx, \ t \in [-1; \ 1]$

$2t^2 + 3t - 2 = 0 \\ \\ D = 9 + 2 \cdot 2 \cdot 4 = 25 = 5^2 \\ \\ t_1 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \\ t_2 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2 \ - \ ne \ \ ed.$

Обратная замена:

$sinx = \dfrac{1}{2} \\ \\ x = (-1)^n \dfrac{ \pi }{6} + \pi n, \ n \in Z$

Перепишем в другом виде:

$x = \dfrac{ \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z \\ \\ x = \dfrac{5 \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z$

ОДЗ удовлетворяет вторая форма.

Ответ: $x = \dfrac{5 \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z$