Question

Найти область значений функции

y = cos(x)/((cos(x/2)-sin(x/2))

Answer 1

Представим данную функцию в виде $y= \dfrac{\cos(2 \cdot\frac{x}{2}) }{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }$

используя формулу $\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha$, получим

       $y= \dfrac{(\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2} )(\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} )}{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }$

Разделим числитель и знаменатель правой части на $\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} \ne0$. Будем иметь $y=\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2}$

Теперь умножим и разделим правую часть на $\sqrt{2}$. Получим

$y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} )= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4})$

Применяя к правой части этой функции формулу $\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$, получим $y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Так как $-1 \leq \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq 1$, то, умножив неравенства на $\sqrt{2}$, $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

Значит, область значений данной функции $D(y)=[-\sqrt{2} ;\sqrt{2} \,]$

Answer 2

y=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))=
=(cos(x/2)+sin(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2)=
=cos(x/2)+sin(x/2)=sin(π/2-(x/2))+sin(x/2)=
=2sinπ/4cos(π/4-(x/2))=2*√2/2cos(π/4-(x/2))=√2cos(π/4-(x/2)
E(y)∈√2*[-1;1]=[-√2;√2]
Ответ [-√2;√2]