Question

Сумма первого и четвертого членов возрастающей геометрической прогрессии относится к сумме второго и третьего членов этой же прогрессии как 13:4. Найти первый член прогрессии,если третий её член равняется 32.

Answer 1

(b₁+ b₄)/(b₂ + b₃) = 13/4
(b₁ + b₁q³)/(b₁q + b₁q²) = 13/4
(1 + q³) / (q + q²) = 13/4
4(1 + q³) =  13(q + q²)
4(1 +q)(1 - q + q²) -13q(1 +q) = 0
(1 + q)(4(1 - q + q²) -13q) = 0
1 +q = 0           или        4(1 - q + q²) -13q = 0
q = -1                             4 - 4q + 4q² - 13q = 0
не подходит                  4q² -17q +4 = 0
                                       D = 225
                                       q₁ = 4
                                       q₂ = 1/4 (не подходит, т.к. прогрессия                                                          возрастающая)
b₃ = 32
b₁q² = 32
b₁*16 = 32
b₁ = 2

Answer 2

$\frac{b_{1}+b_{4}}{b_{2}+b_{3}}= \frac{13}{4}\\4(b_{1}+b_{4})=13(b_{2}+b_{3})\\ 4(b_{1}+b_{1}q^{3})=13(b_{1}q+b_{1}q^{2})\\4b_{1}(1+q^{3})=13b_{1}q(1+q)\\ 4(1+q)(q^{2}-q+1)=13q(1+q)\\4(q^{2}-q+1)=13q\\4q^{2}-4q+4=13q\\4q^{2}-17q+4=0\\D=289-64=225\\q_{1}= \frac{17+15}{8}=4\\q_{2}= \frac{17-15}{8}= \frac{1}{4}$→не удовл., так как прогрессия возрастающая.
q=4, b₃=32
b₁=b₃:q²=32:4²=32:16=2→ответ.