Question

xy+yz+zx=16
найдите наименьшее значение (x+y+z)^2

Answer 1

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ $=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2 +2*(16) =$ $= x^2+y^2+z^2 +32$
теперь разберемся с выражением $x^2+y^2+z^2$
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2$ $+2zx+x^2$
$2x^2+2y^2+2z^2 = 2xy+2zy+2zx = x^2+y^2+z^2 = xy+zy+zx$
⇒$x^2+y^2+z^2 = 16$
$x^2+y^2+z^2 +32 = 16+32 = 48$