Question

МНОГО БАЛЛОВ!!! Прошу помогите sin х + cos х = 1 − sin 2х.

Answer 1

В правой части уравнения 1 представим как $1=\sin^2x+\cos^2x$(основное тригонометрическое тождество) , получим $\sin x+\cos x=\sin^2x+\cos^2x-\sin2x$. Перепишем правую часть в виде $\sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2-2\sin2x.$

Произведем замену. Пусть $\sin x+\cos x=t(|t|\leq \sqrt{2})$, тогда, возведя обе части в квадрат, получим $1+\sin2x=t^2$  откуда  $\sin2x=t^2-1$, имеем

$t=t^2-2(t^2-1)\\ t^2+t-2=0$
По т. Виета: $t_1=-2$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2, $t_2=1$

Возвращаемся к замене

$\sin x+\cos x=1.$ Используя формулу $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )$, получим $\sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=1$
$\sin (x+ \frac{\pi}{4} )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x+ \frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \underline{x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} +\pi ,k \in \mathbb{Z}}$


Ответ: x = (-1)ⁿ · π/4 - π/4 + πk, где n - целые числа.