Question

На ребрах SA,SB,SC треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки K, L, M так, что SK:KA=1:1, SL:LB=1:3, SM:MC=1:4. Найдите отношение объема пирамиды SKLM к объему пирамиды SABC, если известно, что угол ASB=90 градусов, а угол BSC=90 градусов.

Answer 1

Углы ASB и BSC прямые, следовательно ребро BS перпендикулярно плоскости грани ASC.
"Положим" пирамиду на грань ASC. Тогда высота пирамиды LSKM - ребро SL, а высота пирамиды ВASC - ребро BS.  Отношение высот пирамид LS/BS=1/4.
Площадь основания пирамиды LSKM равна (1/2)*SK*SM*Sin(ASC)=
(1/2)*(1/2)SA*(1/5)SC*Sin(ASC).
Площадь основания пирамиды ВASC равна (1/2)*SA*SC*Sin(ASC).
Тогда Vlskm=(1/3)*(1/2)*(1/2)SA*(1/5)SC*Sin(ASC)*LS=
(1/60)*SA*SC*Sin(ASC)*(1/4)*BS=(1/240)*SA*SC*Sin(ASC)*BS.
Vbsac=(1/3)*(1/2)*SA*SC*Sin(ASC)*BS.
Vlskm/Vbsac=1/40.
Так как Vlskm=Vsklm, a Vbsac=Vsabc, то
Ответ: Vsklm/Vsabc=1/40.