Question

найдите корень уравнения sin x + sin 3x = 2√3*cos² x Принадлежащий промежутку
(π/2 ; 3π/2).

Answer 1

$sinx + sin3x = 2 \sqrt{3} cos^2x$
Используем формулу сложения синусов:
$2 sin\dfrac{x + 3x}{2} \cdot cos \dfrac{x - 3x}{2} =2 \sqrt{3} cos^2x \\ \\ sin2x \cdot cos(-x) = \sqrt{3} cos^2x \\ \\ 2sinxcosx \cdot cosx = \sqrt{3} cos^2x \\ \\ 2sinxcos^2x - \sqrt{3}cos^2x = 0 \\ \\ cos^2x(2sinx - \sqrt{3}) = 0 \\ \\ cosx = 0 \\ \\ \boxed{x = \dfrac{\pi} {2}+ \pi n, \ n \in Z }\\ \\ 2sinx = \sqrt{3} \\ \\ sinx = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \boxed{ x = (-1)^n \dfrac{ \pi }{6} + \pi k, \ k \in Z}$
Теперь отберём корни, входящие в заданный промежуток:
$\dfrac{ \pi }{2} \ \textless \ \dfrac{ \pi }{2} + \pi n \ \textless \ \dfrac{3 \pi }{2} , \ n \in Z$
Т.к. неравенство нестрогое, то оно не имеет решений.
$\dfrac{ \pi }{2} \ \textless \ (-1)^{n} \dfrac{ \pi }{6} + \pi k \ \textless \ \dfrac{3 \pi }{2} , \ n \in Z \\ \\ 3 \pi \ \textless \ (-1)^n \pi + 6 \pi k \ \textless \ 9 \pi , \ n \in Z \\ \\ 3 \ \textless \ (-1)^n + 6n \ \textless \ 9, \ n \in Z \\ \\ n = 1 \\ \\ x = (-1)^{1} \dfrac{ \pi }{6} + \pi = \dfrac{5 \pi }{6} \\ \\ OTBET: \ \boxed{x = \dfrac{5 \pi }{6}.}$