Question

Площади треугольников , образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями равны 25 и 1 . Найдите площадь трапеции

Answer 1

Рассмотрим ΔBOC и ΔAOD.
∠BOC = ∠AOD - как вертикальные
∠ACB = ∠CAD - как накрест лежащие
Значит, ΔBOC ~ ΔAOD - по I признаку.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, т.е.
$\dfrac{BO}{OD}= \dfrac{CO}{AO} = \sqrt{ \dfrac{1}{25}} = \dfrac{1}{5}$
Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения его смежных сторон на синус угла между ними.
Тогда пусть OC = x. Тогда AO = 5x. Пусть BO = y. Тогда OD = 5y.
Отсюда следует, что AC = x + 5x = 6x, а BD = y + 5y = 6y.
$S_{BOC} = \dfrac{1}{2} xy sinBOC \\ \\ \dfrac{1}{2} xy sinBOC = 1 \\ \\ S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} \cdot 6x \cdot 6y sinBOC = \dfrac{1}{2}xy sinBOC \cdot 36 = 36S_{BOC} = 36.$
Ответ: 36.