Question

Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам.

Answer 1

$\iint \limits _{D}\, ln(1+x^2+y^2)dx\, dy=I\\\\D:\; \; x^2+y^2 \leq R^2\; \; \Rightarrow \; \; (\rho cos\varphi )^2+(\rho sin\varphi )^2 \leq R^2\; ,\; \rho ^2 \leq R^2\; ,\; \rho \leq R\\\\x \geq 0\; ,\; y \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi }{2}\\\\ln(1+x^2+y^2)=ln(1+\rho ^2)\\\\dx\, dy\, =\rho \, d\rho \, d\varphi$

$I= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \, d\varphi \,\int\limits^{R}_0\, ln(1+\rho ^2)\cdot \rho \, d\rho =[\, t=1+\rho ^2\; ,\; dt=2\rho \, d\rho \;]=$

$= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, d\varphi \int\limits^{1+R^2}_1\, lnt\cdot \frac{dt}{2}= [\, u=lnt\; ,\; du=\frac{dt}{t}\; ,\; dv=dt\; ,\; v=t\, ]=\\\\=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, d\varphi \Big (\frac{1}{2}\cdot (t\cdot lnt\Big |_1^{1+R^2}}- \int\limits^{1+\rho ^2}_1\, dt)\Big )= \\\\=\frac{1}{2}\, \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\,\Big ( (1+R^2)\, ln(1+R^2)-t\Big |_1^{1+R^2}\Big )\, d\varphi =\\\\=\frac{1}{2}\, \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, \Big (1+R^2)\, ln(1+R^2)-(1+R^2)+1\Big )\, d\varphi =$

$= \frac{1}{2}\cdot \Big ((1+R^2)\, ln(1+R^2)-R^2\Big )\cdot \varphi \Big |_0^{\frac{\pi}{2}}=\\\\= \frac{\pi}{4} \cdot \Big ((1+R^2)\, ln(1+R^2)-R^2\Big )$