Question

Прошу помочьь с выбором правильного ответа

Answer 1

1)    $\int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{x}_0 {f(x,y)} \, dy=I$  .

Область интегрирования:  $\{\; 0 \leq x \leq 1\; ,\; \; 0 \leq y \leq x\; \}.$ 
Эта область - треугольник со сторонами :  у=х , у=0 и х=1 .
Если надо изменить порядок интегрироавния, то область надо спроецировать на ось ОУ, получим отрезок [0,1] , и провести луч, параллельный ОХ. Точка входа луча в область лежит на прямой у=х, а точка выхода - на прямой х=1 . Поэтому:

 $I= \int\limits^1_0\, dy\, \int\limits_{y}^1 {f(x,y)} \, dx$ 

Ответ: с) .

2)  Площадь области можно вычислить по формуле:

$S=\iint \limits _{D}\, dx\, dy=\int\limits^2_1\, dx \int\limits^{\frac{x^2}{4}}_{x^2-3x+2}\, dy$

В ответе лишнее стоит  f(x,y). Если бы функцию  f(x,y) не записали, то был бы ответ с).
у=х²-3х+2   -  парабола, пересекает ось ОХ при х=1 и х=2, ветви вверх, вершина в (1,5 ; -0,25) . 
у=х²/4  -  парабола, пересекает соь ОХ в (0,0), ветви вверх, вершина
в (0,0) , проходит на отрезке [1,2] выше параболы у=х²-3х+2 , точки пересечения с первой параболой приближенно х1=0,8 и х2=3,15. Поэтому точка входа луча, параллельного оси ОУ, в область лежит на параболе у=х²-3х+2, а точка выхода -  на параболе  у=х²/4 .
Область проецируется на ОХ в отрезок [1,2] .