Question

Решите уравнение:
6tgx + 5tg3x = tg2x

Answer 1

$6tgx+ 5\cdot\frac{3tg x-tg^3x}{1-3tg^2x}= \frac{2tg x}{1-tg^2x}$

Пусть $tg x=t$, тогда получим

$6t+5\cdot \frac{3t-t^3}{1-3t^2} = \frac{2t}{1-t^2} |\cdot (1-t^2)(1-3t^2)\\ \\ 6t(1-t^2)(1-3t^2)+5t(1-t^2)(3-t^2)-2t(1-3t^2)=0\\ \\ t(6(1-t^2)(1-3t^2)+5(1-t^2)(3-t^2)-2(1-3t^2))=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$t=0$

$6(1-t^2)(1-3t^2)+5(1-t^2)(3-t^2)-2(1-3t^2)=0$
Пусть $t^2=a(a \geq 0)$, тогда получим

$6(1-a)(1-3a)+5(1-a)(3-a)-2(1-3a)=0\\ 18a^2-24a+6+5a^2-20a+15+6a-2=0\\ 23a^2-38a+19=0\\ D=(-38)^2-4\cdot23\cdot19=-304$
D<0, уравнение действительных корней не имеет

Обратная замена

$tg x=0\\ \\ \boxed{x= \pi n,n \in \mathbb{Z}}$