Question

Решить в предположении, что x>0, уравнение $x^{\displaystyle x^{\displaystyle x^{\displaystyle x^{\displaystyle x}}}}= x^{\displaystyle x^{\displaystyle x}}$

Answer 1

Прологарифмируем обе части уравнения

$x^\big{x^x}\ln x=x^x\ln x\\ \ln x (x^\big{x^x}-x^x)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\ln x=0$  откуда $x=1$

$x^\big{x^x}-x^x=0\\ \\ x^\big{x^x}=x^x$

Снова же прологарифмируем

$x^x\ln x=x\ln x\\ \ln x(x^x-x)=0$

Повторять не буду что из уравнения lnx = 0 корень х=1(выше доказано)

$x^x-x=0\\ x^x=x\\ x\ln x=\ln x\\ \\ \ln x(x-1)=0\\ \\ x-1=0\\ \\ x=1$



Ответ: х=1