Question

С некоторой точки до плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5: 6. Найдите длину перпендикуляра, проведенного с этой точки до плоскости, если проекции наклонных равны 3√3 см и 4 см.

Answer 1

Пусть АВ и АС - наклонные к плоскости α. АН⊥α.
Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда АВ=5х, АС=6х.
Т.к. AC>AB, то CH>BH.
В прямоугольном ΔАНВ по теореме Пифагора АН² = АВ²-ВН².
В прямоугольном ΔАНС по теореме Пифагора АН² = АС²-СН².
Значит, АВ²-ВН² = АС²-СН².
$25x^2-16=36x^2-27\\ 9x^2=11\\ x^2= \frac{11}{9} \\ AH^2=25*\frac{11}{9}-16=\frac{275-144}{9}=\frac{131}{9}\\ AH= \sqrt{\frac{131}{9}} = \frac{ \sqrt{131} }{3}$
Ответ: $\frac{ \sqrt{131} }{3}$