Question

найти объем тела, ограниченного поверхностями:
z=3, z=30, x^2+y^2=2, x= корень из y, x=0

Answer 1

Найдем точки пересечения функций x^2+y^2=2 и x=√y > y=√(2-x^2), y=x^2
√(2-x^2)=x^2 =>      2-x^2=x^4         =>        x^2=t        =>     t^2+t-2=0
D=1+4*2=9
t1=1
x^2=-2
x^2=1        x^2=-2 (не подходит)
x=-1   и    x=1       (у нас x уже равен нулю по условию, так что отрицательный корень не трогаем)
0≤x≤1
x^2≤y≤√(2-x^2)
3≤z≤30
$\int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^{\sqrt{(2-x^2)}}_{ x^2} {} \, dy \int\limits^{30}_3 {} \, dz = \int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^{\sqrt{(2-x^2)}x^2}_{ x^2} {} \, (30-3)dy= \\ = \int\limits^1_0 {} \,(30y-3y)dx|({\sqrt{(2-x^2)};x^2)= \\ = \int\limits^1_0 {} \,-((30x^2-3x^2)+(30\sqrt{(2-x^2)}-3\sqrt{(2-x^2)})dx= \\ = \int\limits^1_0 {} \,(-27x^2+27\sqrt{(2-x^2)})dx=-27\int\limits^1_0 \,(x^2)dx+27\int\limits^1_0 \sqrt{(2-x^2)})dx=.. \\ ...= 9/2+27 \pi /4\\ =-27\int\limits^1_0 \sqrt{(2-x^2)})dx=...$