Question

найти все значения параметра a при каждом из которых все решения уравнения 4|x-3a|+x+6a-24=0 принадлежат отрезку 6;12

Answer 1

Рассмотрим 2 случая:

1 случай. Если $x-3a \geq 0$, тогда получим
$4(x-3a)+x+6a-24=0\\ 4x-12a+x+6a-24=0\\ 5x-6a-24=0\\ x= \frac{6a+24}{5}$

Учитывая, что решения должны принадлежать отрезкy [6;12], то

$\displaystyle \left \{ {{ \frac{6a+24}{5} -3a \geq 0} \atop {6 \leq \frac{6a+24}{5} \leq 12}} \right. \Rightarrow \left \{ {{6a+24-15a \geq 0} \atop {30 \leq 6a+24 \leq 60}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq 3} \atop {1 \leq a \leq 6}} \right.$

Общее: $a \in [1;3]$

Случай 2. Если $x-3a\ \textless \ 0$, тогда получим
$-4(x-3a)+x+6a-24=0\\ -4x+12a+x+6a-24=0\\ -3x+18a-24=0|:3\\ -x+6a-8=0\\ x=6a-8$

Опять учтем, что

$\displaystyle \left \{ {{6a-8-3a\ \textless \ 0} \atop {6 \leq 6a-8 \leq 12}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a\ \textless \ \frac{8}{3} } \atop { \frac{7}{3} \leq a \leq \frac{10}{3} }} \right. \Rightarrow\boxed{a\in \bigg[\frac{7}{3};\frac{8}{3}\bigg) }$

Общее решение $\displaystyle \left \{ {{1 \leq a \leq 3} \atop {\frac{7}{3} \leq a\ \textless \ \frac{8}{3}}} \right. \Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{7}{3} \leq a\ \textless \ \frac{8}{3}$

Проверим на концах отрезках решение уравнения
Если $a=\frac{8}{3}$, то

$4|x-3\cdot\frac{8}{3}|+x+6\cdot\frac{8}{3}-24=0\\ 4|x-8|+x+16-24=0\\ 4|x-8|+x-8=0\\x=8$

a=8/3 - подходит.


Ответ: $a \in \bigg[\dfrac{7}{3};\dfrac{8}{3}\bigg]$