Question

Решите уравнение sinx + cos2x=1 + sinx * cos2x
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0, П)

Answer 1

Перенесем все слагаемые в правую часть
0 = 1 - sin(x) + sin(x)*cos(2x) - cos(2x),
0 = (1 - sin(x)) + cos(2x)*(sin(x)-1);
0 = (1 - sin(x)) - cos(2x)*( 1-sin(x));
0 = (1-sin(x))*(1-cos(2x))
1) 1 - sin(x) = 0, или 2) 1-cos(2x) = 0;
1) sin(x) = 1, <=> x = (п/2)+2пn, где n - пробегает все целые числа.
2) cos(2x) = 1, <=> 2x = 2пm, где m - пробегает все целые числа.
x = пm.
Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку (0; п).
1) 0<(п/2)+2пn<п, <=> 0< (1/2)+2n<1; <=> -(1/2)<2n<1/2, <=> -1/4<n<1/4,
но n - целое. Единственное целое число, удовлетворяющее последнему двойному неравенству это n =0;
x = (п/2) + 2п*0 = п/2.
2) 0<пm<п; <=> 0<m<1. Но m - целое. Нет такого целого m, которое бы удовлетворяло последнему двойному неравенству.
Ответ. п/2.

Answer 2

sinx+cos2x-1-sinxcos2x=0
(sinx-1)-cos2x(sinx-1)=0
(sinx-1)(1-cos2x)=0
sinx-1=0⇒sinx=1⇒x=π/2+2πk.k∈z
0≤π/2+2πk≤π
0≤1+4k≤2
-1≤4k≤1
-1/4≤k≤1/4
k=0πx=π/2
1-cos2x=0⇒cos2x=1⇒2x=2πk⇒x=πk,k∈z
0≤πk≤π
0≤k≤1
k=0⇒x=0
k=1⇒x=π
Ответ x={0;π/2;π}