Question

Решить уравнение: $4log_{a \sqrt{x} } \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3} log_{ \frac{a^{2}}{ \sqrt{x} } }x=2log_{ax} \sqrt{x}$ Задача средней сложности, 11 класс.

Answer 1

Можно заметить сразу что x=1 всегда будет решением данного уравнения для любых "a".
При помощи свойства log(a)b=1/log(b)a , получаем
4/log(x^(1/3)) (a*x^(1/2)) - 1/log(x^(1/3)) (a^2/x^(1/2)) = 3/log(x^(1/3)) ax

Сдалаем замену
log(x^(1/3)) a = n
log(x^(1/3)) x = m

Получаем
4/(n+(m/2)) - 1/(2n-(m/2)) = 3/(n+m)

Решая данное уравнение , получаем
m=2n
m=-2n/7

Подставим m и n откуда
x=a^2
x=a^(-2/7) = 1/a^(2/7)