Question

Решить уравнение $x^x=x$

Я уже выставлял эту задачу. Просьба здесь делиться новыми мыслями, а не повторять старые

Answer 1

Очевидно что, $x\ne 0$ т.к. возникает неопределенность $0^0$.

Очевидно так же что $x\ \textgreater \ 0$ (показательная функция).

Поделим обе части уравнения на $x$:

$\displaystyle x^{x-1}=1$

Отсюда получаем,

$x-1 = 0\\\\x=1$

Answer 2

$x^{x}=x\\ e^{\ln x^x}=x\\ \ln e^{x\ln x}= \ln x \\ x\ln x = \ln x \\ \ln x(x-1)=0\\ \left[ \begin{matrix} \ln x =0 \\ x-1=0, x\ \textgreater \ 0\end{matrix}\right \Rightarrow \begin {cases}x\ \textgreater \ 0 \\ x=1 \end {cases} \Rightarrow x=1.$