Question

Все значения параметра a, при которых числа 2ᵃ₋2, a и a·*2ᵃ являются последовательными членами арифметической прогрессии

Answer 1

Пусть $\{b_n\}$ - арифметическая прогрессия;
$b_1=2^a-2;\,\,\,\, b_2=a;\,\,\,\, b_3=a\cdot 2^a$

Найдем разность арифметической прогрессии

$d=b_2-b_1=a-2^a+2$

Пользуясь формулой n-го члена арифметической прогрессии $b_n=b_1+(n-1)d$, получим:

$b_3=b_1+2d$

тогда

$a\cdot 2^a=2^a-2+2(a-2^a+2)\\ \\ a\cdot 2^a=2^a+2a-2\cdot 2^a+2\\ \\ a\cdot 2^a=-2^a+2a+2\\ \\ a\cdot 2^a+2^a-2a-2=0\\ \\ 2^a(a+1)-2(a+1)=0\\ \\ (a+1)(2^a-2)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\left[\begin{array}{ccc}a+1=0\\ 2^a-2=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}a_1=-1\\ a_2=1\end{array}\right$


Ответ: $a=\pm1$