Question

Провести полное исследование функции и построить ее график

У= 2х² / 3-х

Answer 1

Дана функция $y= \frac{2 x^{2} }{3-x} .$
1) Область определения: x ∈ R, x ≠ 3.
2) Область значений: y ∈ R, y ≤ -24, y > 0.
3) График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 2x² /(- x + 3) = 0.
Решаем это уравнение. Достаточно числитель приравнять нулю.
Точки пересечения с осью Ох: х = 0.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2)/(3 - x).
у = (2*0^2)/(3 - x) = 0.
Точка: (0, 0).
4) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$ (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции.
Первая производная равна: $y'=- \frac{2x^2-12x}{(x-3)^2} .$
Достаточно числитель приравнять нулю: 2x² - 12x = 0.
Решаем это уравнение: 2x(x - 6) = 0.
Корни этого уравнения: х = 0  и х = 6.
Значит, экстремумы в точках: (0, 0), (6, -24).
5) Интервалы возрастания и убывания функции.
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
x =      -1       0        1         5        6               7
y' = -0,875    0       2,5      2,5       0         -0,875.
Минимум функции в точке: х = 0.
Максимум функции в точке: х = 6.
Убывает на промежутках (-∞; 0), (6; +∞).
Возрастает на промежутках (0; 3), (3; 6). Это с учётом того, что в точке
 х = 3 функция имеет разрыв.
6) Точек перегиба нет.
7) Вертикальная асимптота х = 3.
    Горизонтальных асимптот нет.
    Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2)/(3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- x + 3}\right) = -2$.
Значит, уравнение наклонной асимптоты слева:
y = -2x - 6
$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- x + 3}\right) = -2$.
Возьмём предел, значит, уравнение наклонной асимптоты справа:
y = -2x - 6.
8) Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$\frac{2 x^{2}}{- x + 3} = \frac{2 x^{2}}{x + 3}$.
- Нет.
$\frac{2 x^{2}}{- x + 3} = - \frac{2 x^{2}}{x + 3}$.
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 

1cea79daf83a62704e7fd0fc1f22b99a.docx

Answer 2

y=2x²/(3-x)
D(y)∈(-∞;3) U (3;∞)
(0;0) точка пересечения с осями
y(-x)=2x²/(3+x) ни четная,ни нечетная
y`=[2x(3-x)+1*2x²]/(3-x)²=(6x-2x²+2x²)/(3-x)²=6x/(3-x)²=0
x=0
             _                     +
-------------------(0)-------------------
убыв             min  возр
уmin=0
Вертикальная асимтота х=3
Горизонтальных нет
k=lim[2x²/(3-x)x]=lim[2x/(3-x)]=lim[(-2(3-x)/(3-x)+6/(3-x)]=-2+6/∞=-2
    x→+-∞
b=lim[2x²/(3-x)+2x]=lim[(2x²+6x-2x²)/(3-x)]=lim[6x/(3-x)]=-6
    x→∞
Наклонная асиптота y=-2x-6 

9e9deef3aadb944d68f10bd9241f10ed.docx