Question

В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основание высоты падает в центр прямоугольника основания. $AB= 2 \sqrt{3}$, $BC= 2 \sqrt{6}$, $SD=6$. Найти угол между гранями $SBA$ и $SBC$.

Answer 1

Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание высоты которой совпадает с центром прямоугольника основания. 
Стороны основания 2√3 и 2√6, боковые рёбра по 6.
Найти угол между гранями SBA и SBC.

Находим высоту Н = SO пирамиды.
Определяем половину АО диагонали основания:
АО = √(3 + 6) = √9 = 3.
Н = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3.
Ещё можно сделать вывод, что боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60 градусов (cosSAO = 3/6 = 1/2, <SAO = 60°).
Найти угол между боковыми гранями можно двумя способами:
 - векторным,
 - геометрическим.

Используем геометрический способ.
Для этого надо провести секущую плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Проведём её из точки А.
Рассмотрим треугольник ASB. Высота его SP = √(36-3) = √33.
Площадь его равна (1/2)√33*2√3 = 3√11.
Высота АМ равна 2S/6 = 6√11/6 = √11.
Отрезок МВ = √(АВ² - АМ²) = √(12 - 11) = 1.
Теперь определим второй перпендикуляр к точке М в грани SBC.
В этой грани тангенс угла В равен:
tg B = SK/KB = √(36-6)/√6 = √30/√6 = √5.
Тогда перпендикуляр пересекает ВС на расстоянии L:
L = 1/cos B = 1/(1/√(1+5)) = √6.
То есть это середина ВС - точка К.
Длина АК = √(АВ² + ВК²) = √(12+6) = √18 = 3√2.
В треугольнике АМК этот же угол ищем по теореме косинусов.
cos∡АМК = (11+5-18)/(2*√11*√5) = -1/√55 ≈ -0,13484 .
Угол АМК = 1,706048 радиан = 97,74937°.