Question

величина угла при основании равнобедренного треугольника равна альфа. При каком значении альфа отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно наибольшее значение этого отношения?

Answer 1

Дано: ABC - треугольник, $\angle BAC=\angle BCA=\alpha,\,\,\,\, AB=BC$
r - радиус вписанной окружности
R - радиус описанной окружности

$\angle ABC=180а-2 \alpha$

по т. Синусов: $\frac{AC}{\sin\angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{AC}{\sin(180а-2 \alpha )} = \frac{BC}{\sin \alpha }$

Откуда $AC= \frac{BC\sin(180а-2 \alpha )}{\sin \alpha } = \frac{ BC\sin2 \alpha }{\sin \alpha } =2BC\cos \alpha$

Из площади треугольника АВС имеем, что $S=0.5AC\cdot BC\sin \angle BCA=BC\cos \alpha \cdot BC\sin \alpha =BC^2\cos \alpha \sin\alpha$

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r= \frac{S}{p}$

$p= \frac{AB+BC+AC}{2}= \frac{2BC+AC}{2} = \frac{2BC+2BC\cos \alpha }{2} =BC(1+\cos \alpha )$

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} =2R\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, R= \frac{BC}{2\sin \alpha }$

Тогда отношение $\frac{r}{R} = \frac{BC^2\sin \alpha \cos \alpha }{BC(1+\cos \alpha )} \cdot \frac{2\sin \alpha }{BC} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha }$

Нужно найти наибольшее значение функции $\frac{r}{R} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha }$ на промежутке $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$

$( \frac{r}{R} )'=2\cdot \frac{(\sin^2 \alpha \cos \alpha )'(1+\cos \alpha )-(1+\cos \alpha )'\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ = 2\cdot\frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2}=\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -1+\cos^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )\cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (3\cos^2 \alpha -1+\cos \alpha -\cos^2 \alpha )}{1+\cos\alpha}=$

$= \frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha }$

Приравниваем к нулю

$\frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha }=0\\ \\ \sin \alpha =0;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \alpha = \pi n,n \in Z\\ \\ 2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1=0$
пусть $\cos \alpha =t(|t| \leq 1)$, тогда имеем

$2t^2+t-1=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9\\ t_1=-1\\ t_2=0.5$

Обратная замена

$\cos \alpha =-1;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, \alpha = \pi +2 \pi n,n \in Z\\ \cos \alpha =0.5;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z$

На промежутке при n=0 корень $x= \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет.

(0)___+__(π/3)__-___(π/2)
В т. х=π/2 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно х=π/3 - точка максимума.

Найдем наибольшее значение этого отношения

$\frac{2\sin^2 \frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{3} }{1+\cos\frac{\pi}{3} }=0.5$


Ответ: наибольшее значение равно 0,5 при $\alpha =\frac{\pi}{3}$