Question

Найдите косинус угла между диагоналями куба ?( Ответ должен получиться 1/3)

Answer 1

Диагональ грани куба равна а√2 (по Пифагору).Диагональ куба равна а√3 (по Пифагору: √(а²+(а√2)² ).Угол между диагоналями равен α.Тогда Sin(α/2)=(а√2/2)/(а√3/2) (отношение противолежащего катета к гипотенузе).Sin(α/2)=√2/√3.Cosα=1 - Sin²(α/2) (формула приведения).Cosα=1 - 2/3=1/3.
Ответ: Cosα=1/3.
 (см. приложенный рисунок).

Answer 2

По теореме косинусов из треугольника со сторонами а√3/2, а√3/2 (половины диагоналей куба) и а (сторона куба) в диагональном сечении  имеем:
Cosα=(2*3a²/4 - a²)/2*3a²/4 =a²*4/2*6*a²=1/3.
Ответ: Cosα=1/3.