Question

найти объем правильной четырехугольной пирамиды, боковая поверхность которой равна 216, а площадь основания 108

Answer 1

Площадь одной грани Sграни = Sбок /4 = 216 / 4 = 54.

Поскольку четырехугольная пирамида правильная, то в основе лежит квадрат. 
Sосн = AD²   отсюда   AD=√Sосн = √108 = 6√3

Рассмотрим грань SDA: треугольник SDA - равнобедренный, SD = SA, AD = 6√3. SK - высота(или апофема пирамиды)

$S$грани = $\frac{AD\cdot SK}{2}$ отсюда $SK= \frac{2S_g}{AD} = \frac{2\cdot54}{6 \sqrt{3} } =6 \sqrt{3}$

Из прямоугольного треугольника $SOK:\,\,SO= \sqrt{SK^2-( \frac{AD}{2} )^2} = \sqrt{(6 \sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2 }=9$

Найдем объем пирамиды:

$V= \frac{1}{3} \cdot S_o\cdot h= \frac{1}{3} \cdot 108\cdot 9=324$