Question

сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессий равна 13, а их произведение равно 27. вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии

Answer 1

Пусть последовательность $\{b_n\}$ - геометрическая прогрессия. Тогда по условию: $b_1+b_2+b_3=13$ и $b_1b_2b_3=27$

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется по формуле $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Решив систему уравнений
$\displaystyle \left \{ {{b_1+b_2+b_3=13} \atop {b_1b_2b_3=27}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1+b_1q+b_1q^2=13} \atop {b_1\cdot b_1q\cdot b_1q^2=27}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \left \{ {{b_1(1+q+q^2)=13} \atop {b_1^3q^3=27}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1(1+q+q^2)=13} \atop {b_1q=3}} \right.$

Из второго уравнения выразим переменную $b_1$ и подставим в 1 уравнение

$b_1= \frac{3}{q}$

Подставляем

$\frac{3}{q}\cdot(1+q+q^2)=13|\cdot (q\ne0)\\ \\ 3(1+q+q^2)=13q\\ \\ 3q^2-10q+3=0$

Решив квадратное уравнение, получим корни $q_1= \frac{1}{3}$ и $q=3$
Поскольку геометрическая прогрессия является возрастающей, то знаменатель этой прогрессии по модулю больше 1, т.е. $q= \frac{1}{3}$ - не удовлетворяет условию.

$b_1= \frac{3}{3} =1$

Сумма первых n членов геометрической прогрессии: $S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Тогда сумма первых 5 членов этой прогрессии

$S_5= \frac{b_1(1-q^5)}{1-q}= \frac{1\cdot(1-3^5)}{1-3} =121$


Окончательный ответ: 121.