Question

2cos^2(2x)+3cos^5(x)=5

Answer 1

понизим степень cos^5x:
cos^5x=cos^2x*cos^2x*cosx=(cos^2x)^2*cosx=((1+cos2x)/2)^2*cosx=(1+2cos2x+cos^2(2x))*cosx/4
получим:
2cos^2(2x)+3cosx*(1+2cos2x+cos^2(2x))/4=5
8cos^2(2x)+3cosx*(1+2cos2x+cos^2(2x))=20
8(2cos^2x-1)+3cosx(1+2(2cos^2x-1)+(2cos^2x-1)^2)=20
16cos^2x-8+3cosx-6cosx+12cos^3x+3cosx(4cos^4x-4cos^2x+1)=20
16cos^2x-8-3cosx+12cos^3x+12cos^5x-12cos^3x+3cosx=20
16cos^2x+12cos^5x=20+8
12cos^5x+16cos^2x=28
6cos^5x+8cos^2x=14
3cos^5x+4cos^2x=7
cosx=t
3t^5+4t^2-7=0
подбираем корни:
очевидно что корнем является 1:
3+4-7=0
7-7=0
0=0
cosx=1
x=0+2pi*n=2pi*n
других корней уравнение не имеет
Ответ: x=2pi*n

ДОПОЛНЕНИЕ:
Докажем, что других действительных корней данное уравнение не имеет:
преобразуем в функцию:
y=3t^5+4t^2-7
берем производную:
3*5t^4+4*2t=15t^4+8t
приравниваем ее к 0 и находим экстремиумы:
15t^4+8t=0
t(15t^3+8)=0
t=0
15t^3=-8
t^3=-8/15
t~=-0,81
теперь определим возрастание убывание:
на (-oo;-0,81]
берем (-1)
(-1)*(-15+8) знак +
на [-0,81;0]
берем (-0,1)
(-0,1)*(-1,5+8) знак -
на [0;+oo)
берем 1
1*(15+8) знак +
значит функция возрастает на (-oo;-0,81] и [0;+oo) и убывает на [-0,81;0]
определяем координату у у точек экстремиума:
t=0; y=-7
t=-0,81; y=-5,42
оба экстремиума лежат ниже ox и функция возрастает до (-0,81;-5,42) затем немного убывает и снова продолжает возрастать, откуда следует что ось ox данная функция пересечет 1 раз, следовательно у уравнения 3t^5+4t^2-7=0 может быть только 1 корень.