Question

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения:

y'=3^x-y

Answer 1

y+y`=3^x
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.
u*v+u*v'+u'v = 3x
u(v+v') + u'v= 3x
1. u(v+v') = 0
2. u'v = 3x
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v+v' = 0
Представим в виде:
v' = -vy'=3^x-y
du/u=-dx
∫duu=-∫dx
lnv=-x
v=e^(-x)
2. Зная v, Находим u из условия: u'v = 3x
u'e-x = 3x
u' = (3e)^x
Интегрируя, получаем:
u=∫ (3e)^xdx=C+(3e)^x/(1+ln3)
Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+(3e)x/(1+ln(3)))*e^(-x)
y = 3x/(1+ln(3))+Ce^(-x)