Question

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки Е и F – середины ребер АВ и B1C1 соответственно, а точка расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF.

Answer 1

Пусть A - Начало Координат 
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1
Координаты интересующих точек 
E(2;0;0)
F(4;2;4)
P(1;4;0)
A1(0;0;4)
Уравнение плоскости 
ax+by+cz+d=0 
Подставим координаты точек 
2a+d=0
4a+2b+4c+d=0
a+4b+d=0
Пусть a=1 тогда d= -2 b=1/4 c= -5/8
уравнение плоскости ЕРF 
x+1/4y-5/8z-2=0
нормализованное уравнение плоскости 
k=√(1+1/16+25/64)=√93/8
1/k*x+1/(4k)*y-5/(8k)*z-2/k=0
Подставим координаты точки A1 в нормализованное уравнение 
Расстояние от A1 до плоскости EPF = |-20/√93-16/√93| = 36/√93 =~3.733