Question

Решить уравнение:
$(x-3) \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } - (x+4) \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } =7$

Answer 1

Решал уже.
Область определения: x ≠ -4; x ≠ 3.
Делаем замену $t= \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} }$, тогда $\sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } = \frac{1}{t}$
$\frac{x-3}{x+4} = \frac{x+4-7}{x+4} =1- \frac{7}{x+4} =t^3$
$x+4= \frac{7}{1-t^3} ;x-3=x+4-7= \frac{7}{1-t^3}-7= \frac{7-7+7t^3}{1-t^3} = \frac{7t^3}{1-t^3}$
Область определения: t ≠ 1; t ≠ 0
Подставляем все это в уравнение
$\frac{7t^3}{1-t^3}*t- \frac{7}{1-t^3}* \frac{1}{t}=7$
Делим все на 7
$\frac{t^4}{1-t^3} - \frac{1}{(1-t^3)*t} =1$
Так как t ≠ 0 и t ≠ 1, умножаем все на t(1 - t^3)
t^5 - 1 = t(1 - t^3)
(t - 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t + 1) = t(1 - t)(1 + t + t^2)
Так как t ≠ 1, сокращаем t - 1 и 1 - t, меняя знак справа
t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 = -t - t^2 - t^3
t^4 + 2t^3 + 2t^2 + 2t + 1 = 0
(t^4 + 2t^3 + t^2) + (t^2 + 2t + 1) = 0
t^2*(t^2 + 2t + 1) + (t^2 + 2t + 1) = 0
(t + 1)^2*(t^2 + 1) = 0
Это уравнение имеет один кратный корень t = -1
$t= \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } =-1 \\ \frac{x-3}{x+4}=-1 \\ x-3=-x-4 \\ 2x=-1 \\ x=-0,5$