Question

Полуокружность,центр O которого лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается катетов. Найдите площадь квадрата со стороной AC, если отрезок BO разбивает площадь треугольника на части 24 см^2 и 36 см^2.

Answer 1

Радиус окружности перпендикулярен касательной к ней.

Значит высоты обоих треугольников будут равны.

AB*r/2=24
BC*r/2=36

Приравняем r/2.

r/2=24/AB=36/BC

BC=1.5AB

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов делённому на 2, следовательно:

24+36=BC*AB/2
60=1.5AB^2/2
120=1.5AB^2
AB^2=80

BC^2=2.25AB^2
BC^2=180

По т. Пифагора:

AC^2=AB^2+BC^2=80+180=260

Площадь квадрата равна его стороне в квадрате, то есть:

S=AC^2=260

Ответ: 260.

Answer 2

Площадь ΔАВС=24+36=60

Пусть АВ=х, а ВС=у
Проведем радиусы в точки касания К и L, то есть ОК=OL=R
По теореме радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. То есть ∠АКО=∠ВLO=90°

$S_{BOC}= \frac{1}{2}ah= \frac{1}{2} *BC*OL=\frac{1}{2}*y*R \\ \\ S_{AOB}=\frac{1}{2}*AB*OK=\frac{1}{2}*x*R$

по условию площадь ΔАОВ=24 и площадь ΔВОС=36.


$\left \{ {{ \frac{1}{2}*y*R=36} \atop {\frac{1}{2}*x*R=24}} \right. \ \ =\ \textgreater \ \ \ \left \{ {{y*R=72} \atop {x*R=48}} \right.$

поделим первое уравнение на второе:

$\frac{y*R}{x*R}= \frac{72}{48} \ \ =\ \textgreater \ \ \ \frac{y}{x} =1.5$


$S_{ABC}= \frac{1}{2} *AB*BC=\frac{1}{2} *x*y$

зная, что площадь ΔАВС=60, запишем еще одну систему:

$\left \{ {{\frac{1}{2} *x*y=60} \atop {\frac{y}{x} =1.5}} \right. \ \ =\ \textgreater \ \ \ \left \{ {{xy=120} \atop y=1.5x}} \right. \\ \\ x*1.5x=120 \\ \\ 1.5x^2=120 \\ \\ x^2=120/1.5=80 \\ \\ x=4 \sqrt{5} \\ \\ y=1.5x=1.5*4 \sqrt{5} =6 \sqrt{5}$

Площадь квадрата со стороной АС = АС²

АС² найдем по теореме Пифагора из ΔАВС:

$AC^2=AB^2+BC^2=x^2+y^2=(4 \sqrt{5} )^2+(6 \sqrt{5} )^2=80+180=260$

ОТВЕТ: 260 см²