Question

Помогите,пожалуйста, решить тригонометрическое уравнение!!!

Answer 1

$tg2x=9\sin^2x+4\sin x\cos x-3\cos^2x$
ОДЗ: $\cos2x\ne 0;\,\,\,\, \Rightarrow x\ne \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2},n \in Z$

$\displaystyle tg2x=9\cdot \frac{1-\cos2x}{2} +2\sin2x-3\cdot \frac{1+\cos2x}{2} \\ \\ tg2x=3\cdot\frac{3-3\cos2x-1-\cos2x}{2} +2\sin2x\\ \\ \\ tg2x=3\cdot \frac{2-4\cos2x}{2} +2\sin2x\\ \\ \\ tg2x=3\cdot(1-2\cos2x)+2\sin2x|\cdot \cos 2x\\ \\ \sin2x=3\cos2x-6\cos^22x+2\sin2x\cos2x\\ \\ \sin2x-2\sin2x\cos2x-3\cos2x+6\cos^22x=0\\ \\ \sin2x(1-2\cos2x)-3\cos2x(1-2\cos2x)=0\\ \\ (1-2\cos2x)(\sin2x-3\cos2x)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$1-2\cos2x=0\\ \\ \cos2x=0.5\\ \\ 2x=\pm \frac{\pi}{3} +2 \pi n,n \in Z \,\,\, |:2\\\\ \underline{x_1=\pm \frac{\pi}{6}+ \pi n,n \in Z }$

и

$\sin2x-3\cos2x=0|:(\cos2x\ne 0)\\ \\ tg2x-3=0\\ \\ tg2x=3\\ \\ 2x=arctg3+ \pi n,n \in Z\\ \\ \underline{x_2= \frac{arctg3}{2}+ \frac{\pi n}{2},n \in Z }$