Question

Помогите с заданием

Answer 1

1. Найдем частные производные первого порядка
$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} =4x+8y-2=0\\ \\ \frac{\partial F}{\partial y} =8x+14y-3=0$
Решим эту систему

$\displaystyle \left \{ {{4x+8y=2|:2} \atop {8x+14y=3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x+4y=1|\cdot(-4)} \atop {8x+14y=3}} \right. \Rightarrow \underline{+\left \{ {{-8x-16y=-4} \atop {8x+14y=3}} \right. }\\ \\ \\ -2y=-1\\ y=0.5\\ x=-0.5$

3. Найдем теперь частные производные второго порядка.
$\displaystyle \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} =4\\ \\ \frac{\partial ^2F}{\partial y^2} =14\\ \\ \frac{\partial ^2F}{\partial x\partial y} =8$

Составим матрицу

$\left(\begin{array}{ccc}4&8\\8&14\end{array}\right)$

$a_{11}=4\ \textgreater \ 0\\ \\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}4&8\\8&14\end{array}\right|=4\cdot14-8\cdot8=56-64\ \textless \ 0$

По критерию Сильвестра, экстремума нет.