Question

Решить уравнение и в ответ записать сумму решений, принадлежащих отрезку [0;$\pi$]

Answer 1

$\cos 3x+4\cos^2x=0\\ 4\cos^3x+4\cos^2x-3\cos x=0\\ \cos x(4\cos^2x+4\cos x-3)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\cos x=0\\ \\ \boxed{x_1= \frac{\pi}{2} + \pi n,n \in Z}\\ \\ 4\cos^2x+4\cos x-3=0$
пусть $\cos x=t$, причем $|t| \leq 1$, тогда будем иметь

$4t^2+4t-3=0\\ D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 4\cdot (-3)=4^2+4^2\cdot 3\\ \sqrt{D} = \sqrt{4^2+4^2\cdot 3} =4 \sqrt{1+3} =4\cdot 2=8\\ \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-4+8}{2\cdot 4} =0.5\\ \\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-4-8}{2\cdot 4} \ \textgreater \ 1$

Обратная  замена

$\cos x=0.5\\ \boxed{x_2=\pm \frac{\pi}{3} +2 \pi n,n \in Z}$

Отбор корней на отрезке [0;π].

Для корня $x= \frac{\pi}{2} + \pi n$
$n=0;\,\,\,\,\, x= \frac{\pi}{2}$

Для корня $x=\frac{\pi}{3} +2 \pi n$
$n=0;\,\,\, x=\frac{\pi}{3}$

Для корня $x=-\frac{\pi}{3} +2 \pi n$
$n=1;\,\,\, x=- \frac{\pi}{3} +2 \pi =- \frac{\pi}{3} + \frac{6 \pi }{3} = \frac{5 \pi }{3}\notin[0;\pi]$

Сумма решений на отрезке [0;π]: $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}= \frac{3\pi}{6} +\frac{2\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$


Ответ: $\frac{5\pi}{6}$