Question

Вычислить площадь равнобедренного треугольника , если прямая, соединяющая середины основания и боковой стороны равна половине радиуса R описанного круга

Answer 1

Чертеж во вложении.
Рассмотрим равнобедренный ΔАВС (АВ=ВС). Пусть М-середина ВС, К - середина АС. Тогда КМ - средняя линия ΔАВС, которая по условию равна радиусу R описанной окружности. Тогда по свойству средней линии треугольника АВ = 2КМ = R = BC. Отсюда следует вывод, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна радиусу описанной около него окружности, то такой треугольник - тупоугольный.
Используя теорему синусов для ΔАВС, получим соотношение:
$\dfrac{AB}{sinC}=2R$, отсюда 
$\dfrac{R}{sinC}=2R\ =\ \textgreater \ sinC= \frac{1}{2} \ =\ \textgreater \ \angle C=30^o= \angle A\ =\ \textgreater \ \ \angle B=120^o$
$S_{ABC}= \dfrac{1}{2}AB*BC*sinB= \dfrac{1}{2}R^2 * \dfrac{ \sqrt{3} }{2} = \dfrac{R^2\sqrt3}{4}$
По условию $R=4 \sqrt[4]{3}$. Тогда
$S_{ABC}= \dfrac{(4 \sqrt[4]{3} )^2*\sqrt3}{4} =4*3=12$
Ответ: 12.

Answer 2

Хочу предложить решение данной задачи через рассмотрение полученного в ходе решения равностороннего треугольника.