Question

Помогите решить олимпиаду (5)

Answer 1

Недавно решал эту задачу.
0,5*sin(2pi*x) = 0,5*2sin(pi*x)*cos(pi*x) = sin(pi*x)*cos(pi*x)
$log_{sin( \pi x)cos( \pi x)}(sin( \pi x))*log_{sin( \pi x)cos( \pi x)}(cos( \pi x))= \frac{1}{4}$
У логарифмов есть такое свойство:
$log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание c может быть каким угодно, например, 10.
$\frac{lg(sin( \pi x))}{lg(sin( \pi x)*cos( \pi x))}* \frac{lg(cos( \pi x))}{lg(sin( \pi x)*cos( \pi x))}= \frac{1}{4}$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
$\frac{lg(sin( \pi x))}{lg(sin( \pi x))+lg(cos( \pi x))}* \frac{lg(cos( \pi x))}{lg(lg(sin( \pi x))+lg(cos( \pi x))}= \frac{1}{4}$
$\frac{lg(sin( \pi x))*lg(cos( \pi x))}{[lg(sin( \pi x))+lg(cos( \pi x))]^2} = \frac{1}{4}$
4lg(sin(pi*x))*lg(cos(pi*x)) = [ lg(sin(pi*x)) + lg(cos(pi*x)) ]^2
4lg(sin(pix))*lg(cos(pix)) = lg^2(sin(pix))  + 2lg(sin(pix))*lg(cos(pix)) + lg^2(cos(pix))
lg^2(sin(pix))  - 2lg(sin(pix))*lg(cos(pix)) + lg^2(cos(pix)) = 0
[ lg(sin(pi*x)) - lg(cos(pi*x)) ]^2 = 0
lg(sin(pi*x)) = lg(cos(pi*x))
Если равны логарифмы по одинаковому основанию, то равны и числа под логарифмами
sin(pi*x) = cos(pi*x)
tg(pi*x) = 1
pi*x = pi/4 + pi*k
Если x ∈ [0; 2], то корней всего два:
x1 = 1/4; x2 = 5/4
Однако, при x=5pi/4 будет sin(pi*x)=sin(5pi/4)=-1/√2<0; cos(5pi/4)=-1/√2<0
Эти числа не могут стоять под логарифмом. Поэтому
Ответ: x = 1/4