Question

Помогите решить олимпиаду (2)

Answer 1

Вообще-то тут олимпиадные задачи нельзя задавать.
$x=\sqrt[3]{54+30 \sqrt{3} } +\sqrt[3]{54-30 \sqrt{3} }=A+B$
Возведем число в куб
x^3 = A^3 + 3A^2*B + 3A*B^2 + B^3 = A^3 + B^3 + 3AB*(A + B)
Подставляем всё, что известно, в том числе и A + B = x
$x^3=54+30 \sqrt{3}+54-30 \sqrt{3}+3 \sqrt[3]{(54+30 \sqrt{3} )(54-30 \sqrt{3} )} *x$
$x^3=108+3 \sqrt[3]{54^2-30^2*3}*x=108+3 \sqrt[3]{216}*x=108+18x$
Получаем уравнение
x^3 - 18x - 108 = 0
Можно преобразовать так:
x^3 - 6x^2 + 6x^2 - 36x + 18x - 108 = 0
x^2*(x - 6) + 6x*(x - 6) + 18(x - 6) = 0
(x - 6)(x^2 + 6x + 18) = 0
x = 6 - это и есть значение суммы кубических корней.
x^2 + 6x + 18 = 0 - это уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: 6