Question

Решите неравенство 2x^2+√2x^3>x

Answer 1

$2x^2+ \sqrt{2}x^3\ \textgreater \ x\\ 2x^2+ \sqrt{2}x^3-x\ \textgreater \ 0\\ x(2x+ \sqrt{2}x^2-1)\ \textgreater \ 0$
В скобке получили квадратный трехчлен, разложим его:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ 2x+ \sqrt{2}x^2-1=0\\ \sqrt{2}x^2+2x-1=0\\ D=4-4\cdot \sqrt{2} \cdot(-1)=4+4 \sqrt{2} \\ x_1= \frac{-2+ \sqrt{4+4 \sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-2+ 2\sqrt{1+\sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } \\ x_2= \frac{-2- \sqrt{4+4 \sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-2- 2\sqrt{1+\sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } \\ 2x+ \sqrt{2}x^2-1=\sqrt{2}(x-\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )(x-\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )$
Подставим полученное разложение в наше исходное неравенство:
$\sqrt{2}x(x-\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )(x-\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )\ \textgreater \ 0$
Воспользуемся методом интервалов, изображение прикрепила
Получаем ответ:
$x\in (\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{2} };0)\cup( \frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{2} };+\infty)$