Question

Какая минимальная работа А совершается при подъеме на крышу веревки длиной l = 40 м и массой m = 6 кг? Первоначально веревка свешивалась вертикально с края крыши.
Такая задача уже решалась, но все же хочется подробное и внятное решение.

Answer 1

Пока веревка висит, сила тяжести, действующая на веревку, равна mg; По мере поднятия веревки эта сила тяжести уменьшается до нуля, т.к. длина свисающей веревки уменьшается.
Найдем среднюю силу тяжести F; F=(Fmax-Fmin)/2;
F=(6*10-0)/2=30 Н; A=Fh; A=30*40=1200 Дж
Ответ: A=1200 Дж

Второй способ:
Найдем зависимость массы веревки от длины. Назовем ее ρ; ρ=6/40=0.15 кг/м;
Сила, действующая на веревку, изменяется по закону F(l)=0.15gl;
A=FL; По мере поднятия веревки ее длина уменьшается вместе с силой, действующей на веревку. Найдем работу по поднятию с помощью интеграла
A=$\int\limits^0_{40} {0.15*10*l} \, dx =-1200$ Здесь -1200 Дж потому, что в данном случае мы рассчитываем работу силы тяжести, которая отрицательна(мы ведь против нее совершаем работу).
Ответ: A=1200 Дж

Answer 2

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии веревки взятой с обратным знаком
Aт = - (W₂ - W₁)
Веревка длиной 40 м, поэтому разные ее части поднимаются на разную высоту. Нижняя на 40 м, верхняя - 0 м. считаем веревку материальной точкой расположенной на высоте L / 2 = 40 м / 2 = 20 м.
Т. Е. задача сводится к вычислению работы по подъему тела на высоту 20 м.
Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на высоте 20 м ниже края крыши.
W₁ = m*g*h₁ = 0, h₁ = 0
W₂ = m*g*h₂ = 6 кг * 10 м/с² * 20 м = 1200 Дж
Aт = - 1200 Дж = - 1,2 кДж
Если веревку поднимают равномерно, то работа совершенная человеком равна работе силы тяжести с противоположным знаком
А = - Ат = 1,2 кДж - это ответ