Question

Найдите ту первообразную для функции f(x), график которой проходит через точку А, если:

Answer 1

$f(x)=5x^4,\ \ \ \ A(3;127)\\\\F(x)=\int f(x) \, dx =\int 5x^4 \, dx =\dfrac {5x^5}5+C=x^5+C\\\\F(x)=x^5+C,\ \ \ \ A(3;127)\\\\127=3^5+C\ \ \ \Rightarrow\ \ \ C=127-243=-116\\\\\boxed{\boldsymbol{F(x)=x^5-116}}$

=========================================

$f(x)=\cos (2x),\ \ \ \ \ A\bigg(\dfrac{\pi}4;3\bigg)\\\\F(x)=\int f(x)\ dx=\int \cos(2x)\ dx=\\\\~~~~~~~=\dfrac 12\int \cos(2x)\ d(2x)=\dfrac 12 \sin (2x)+C\\\\F(x)=0,5\cdot \sin (2x)+C,\ \ \ \ \ A\bigg(\dfrac{\pi}4;3\bigg)\\\\3=0,5\cdot \sin\bigg(2\cdot \dfrac{\pi}4\bigg)+C$

$C=3-0,5\cdot \sin\bigg(\dfrac{\pi}2\bigg)=3-0,5=2,5\\\\\boxed{\boldsymbol{F(x)=0,5\cdot \sin(2x)+2,5}}$