Question

4^n + 15*n - 1 Доказать что, если n увеличивать на 1 то 4^n.... будет кратно 9

Answer 1

Доказываем по индукции, что значение делится на 9 при всех натуральных n.

База индукции. n = 1: 4^1 + 15 - 1 = 18 делится на 9.

Переход. Пусть известно, что для всех n < k утверждение выполнено. Рассмотрим выражение при n = k:
$4^k + 15k - 1 = 4 (4^{k - 1} + 15(k - 1) - 1)-9(5k-7)$

Первое слагаемое делится на 9 по предположению индукции, второе слагаемое делится на 9, тогда и вся сумма делится на 9, и индукционный переход доказан.

Тогда по приницпу математической индукции выражение делится на 9 при любых натуральных n.