Question

диффернециальное уравнение.
1. найти частное решение : y = 3y / x , y(1)=1

2. Решить линейное уравнение: y` + y/x = x^2

Answer 1

$1); ; y'=frac{3y}{x}; ; ,; ; ; y(x=1)-1\\t= frac{y}{x} ; ,; ; y=tx; ,; y'=t'x+t\\t'x+t=3t\\t'x=2t\\frac{dt}{dx}= frac{2t}{x}\\int frac{dt}{t} =2cdot int frac{dx}{x} \\ln|t|=2cdot ln|x|+ln|C|\\t=Cx^2\\ frac{y}{x}=Cx^2\\y=Cx^3$

$y(1)=1:; ; 1=Ccdot 1^3; ; to ; ; ; C=1\\underline {y=x^3}$

$2); ; y'+ frac{y}{x}=x^2\\y=uv; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+frac{uv}{x}=x^2 \\u'v+u(v'+frac{v}{x})=x^2\\1); ; v'+frac{v}{x}=0; ; ,; ; frac{dv}{dx}=-frac{v}{x}; ; ,; ; int frac{dv}{v} =-int frac{dx}{x} \\ln|v|=-ln|x|; ,; ; v=x^{-1}=frac{1}{x}\\2); ; u'cdot frac{1}{x}=x^2\\frac{du}{dx}=x^3; ,; ; int du=int x^3, dx\\u= frac{x^4}{4}+C\\3); ; y= frac{1}{x} cdot ( frac{x^4}{4}+C)\\y= frac{x^3}{4}+frac{C}{x}$