Question

Какие множества называют равномощными? Докажите,
что следующие множества равномощны:
1)[1;4]и [-2;2]
2)[2;8)и [2;8]
3)[5;+бесконечность)и (-9:4]

Answer 1

Равномощными называют множества, между которыми есть взаимно однозначное отображение.

Для того, чтобы доказать, что множества равномощны, достаточно предъявить биекцию.

1) y = (4x - 10)/3

2) y = x, если x - не целая степень двойки, и y = 2^(n - 1), если x = 2^n.
Все числа кроме степеней двойки, остаются на местах, а степени двойки сдвигаются: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, ... -> 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/16... Получаются все числа, кроме 8.

3) y = 4 - 26/pi * arctg(x - 5)
Мы знаем, что arctg x взаимно однозначно переводит [0, +infty) в [0, pi/2). Осталось только подобрать линейное преобразование, чтобы совпали границы.