Question

Пожалуйста решите как можно быстрее, очень прошу.

Answer 1

Воспользуемся универсальной подстановкой 
$z=tg frac{x}{2}\ arctgz=arctg(tg frac{x}{2})\ arctgz=frac{x}{2}\ x=2arctgz\ dx=(2arctgz)'dz= frac{2dz}{1+z^2}$
При такой подстановке мы получаем:
$sinx= frac{2z}{1+z^2}\\ cosx= frac{1-z^2}{1+z^2}$
Выполняем замену в исходном интеграле:
$intlimits { frac{dx}{2sinx-cosx+5} }= intlimits { frac{frac{2dz}{1+z^2}}{2frac{2z}{1+z^2}-frac{1-z^2}{1+z^2}+5} }= intlimits { frac{frac{2dz}{1+z^2}}{frac{4z-1+z^2+5+5z^2}{1+z^2}} }= intlimits { frac{2dz}{4z+6z^2+4}}= \ = intlimits { frac{dz}{2z+3z^2+2}}= frac{1}{3} intlimits { frac{dz}{z^2+ frac{2}{3}z+ frac{1}{9}-frac{1}{9} + frac{2}{3} }}=frac{1}{3} intlimits { frac{dz}{(z+ frac{1}{3})^2+ frac{5}{9} }}=$
$frac{1}{3} intlimits { frac{d(z+ frac{1}{3}) }{(z+ frac{1}{3})^2+ (frac{ sqrt{5} }{3})^2 }}= frac{1}{3} cdot frac{3}{ sqrt{5} } arctg frac{3(z+ frac{1}{3}) }{ sqrt{5} } +C=frac{1}{ sqrt{5} } arctg frac{3z+1}{ sqrt{5} } +C$
Возвращаемся из замены:
$frac{1}{ sqrt{5} } arctg frac{3z+1}{ sqrt{5} } +C=frac{1}{ sqrt{5} } arctg frac{3tg frac{x}{2}+1}{ sqrt{5} } +C$