Question

колледж-институт, помогайте!!!!!

Answer 1

Решить дифференциальное уравнение: $3y''-5y'+2y=4x^2-6x+5$

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, неоднородным.

Найти нужно: Yо.н. = Yо.о. + Yч.н.
Где Уо.о. - общее решение однородного уравнения, Уч.н. - частное решение неоднородного уравнения.

1) Найдем сначала общее решение однородного уравнения, т.е.
$3y''-5y'+2y=0$
Воспользуемся методом Эйлера. Пусть $y=e^{kx}$, тогда мы перейдем к характеристическому уравнению вида:
$3k^2-5k+2=0\ D=b^2-4ac=(-5)^2-4cdot3cdot 2=25-24=1\ k_1=1\ k_2= frac{2}{3}$

Тогда общее решение однородного уравнения примет вид:
Уо.о. = $C_1e^x+C_2e^big{frac{2}{3} x}$

2) Поиск частного решения неоднородного уравнения
Рассмотрим функцию $f(x)=4x^2-6x+5=e^{0x}(4x^2-6x+5)$
$P_n(x)=4x^2-6x+5,,,,,, Rightarrow,,,,,, n=2\ alpha=0$

Сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимание, что n=2, то частное решение будем искать в виде: 
Уч.н. = $Ax^2+Bx+C$

Найдем первую и вторую производную функций
$y'=2Ax+B\ y''=2A$

Подставим в исходное уравнение
$3cdot 2A-5cdot (2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C)=4x^2-6x+5\ \ 2Ax^2+x(2B-10A)+6A-5B+2C=4x^2-6x+5$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$begin{cases} & text{ } 2A=4 \ & text{ } 2B-10A=-6 \ & text{ } 6A-5B+2C=5 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } A=2 \ & text{ } B=7 \ & text{ } C=14 end{cases}$

Уч.н. = $2x^2+7x+14$

Общее решение неоднородного уравнения:
Уо.н. = $C_1e^x+C_2e^big{frac{2}{3} x}+2x^2+7x+14$

Решить дифференциальное уравнение: $3y''-y=4cos5x+2sin5x$

Решение:

Аналогично с предыдущего решения нам нужно найти Уо.н.=Уо.о+Уч.н.

1) Находим решение соответствующего однородного уравнения
$3y''-y=0$
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем:
$3k^2-1=0\ \ k=pm dfrac{1}{sqrt{3}}$

Тогда общее решение однородного уравнения примет следующий вид:
$y_{o.o}=C_1e^big{frac{1}{sqrt{3}} x}+C_2e^big{-frac{1}{sqrt{3}} x}$

2) Поиск частного решения
Рассмотрим следующую функцию $f(x)=4cos 5x+2sin5x=e^{0x}(4cos5x+2sin5x)$
$R_m(x)=4;,,,,,, P_n(x)=2,,,,,to,, m=n=0\ alpha=0;,,,,,,,, min=n=0$

Сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимание, что n=0, то частное решение будем искать в виде:
Уч.н. = $Acos5x+Bsin5x$

Найдем первую и вторую производную функций
$y'=-5Asin5x+5Bcos 5x\ y''=-25Acos5x-25Bsin5x$

Подставим в исходное уравнение
$3cdot(-25Acos 5x-25Bsin5x)-(Acos5x+Bsin5x)=4cos5x+2sin5x\ -76Acos5x-76Bsin5x=4cos5x+2sin5x$

Приравниваем коэффициенты при sin5x и cos5x

$begin{cases} & text{ } -76A=4 \ & text{ } -76B=2 end{cases}Rightarrow,,,,begin{cases} & text{ } A=- frac{1}{19} \ & text{ } B=- frac{1}{38} end{cases}$

Частное решение имеет вид: Уч.н. = $- dfrac{1}{19}cos5x- dfrac{1}{38}sin5x$

Общее решение неоднородного уравнения:
$C_1e^big{frac{1}{sqrt{3}} x}+C_2e^big{-frac{1}{sqrt{3}} x}- dfrac{1}{19}cos5x- dfrac{1}{38}sin5x$