Question

С задания,Модуль "Геометрия".
Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины А.Найдите радиус окружности,проходящей через точки М и N касающейся луча АВ,если косинус угла ВАС= Корень из семи делить на 4.
P.s напишите как решить это задание.Буду благодарен!

Answer 1

по теореме о касательной и секущей:
$AE^2=AM*AN \AE=sqrt{AM*AN}=sqrt{12*21}=sqrt{252}=2sqrt{63}=6sqrt{7}$
в треугольнике AEM найдем EM по теореме косинусов:
$EM^2=AE^2+AM^2-2AE*AM*cos(BAC) \EM^2=252+144-2*6sqrt{7}*12* frac{sqrt{7}}{4} \EM^2=396- frac{2*12*7*6}{4}=396- 252=144 \EM=12$
Также в треугольнике AEN найдем сторону EN:
$EN^2=AE^2+AN^2-2AE*AN*cos(BAC) \EN^2=252+441-2*6sqrt{7}*21* frac{sqrt{7}}{4} \EN^2=693- frac{2*7*21*6}{4}=693-441=252 \EN=6sqrt{7}$
так как EN=AE, то треугольник AEN - равнобедренный, следовательно угол EAN равен углу ENA.
используя основное тригонометрическое тождество найдем sin ENA:
$cos^2(ENA)+sin^2(ENA)=1 \cos(ENA)=cos(EAN)= frac{sqrt{7}}{4} \sin(ENA)=sqrt{1-frac{7}{16} }= sqrt{ frac{9}{16}} = frac{3}{4}$
по теореме синусов найдем радиус окружности:
$2R= frac{EM}{sin(ENA)} \2R=12: frac{3}{4} \2R=16 \R=8$
Ответ: R=8